Фрактал как противоположность хаосу. Дерево Фейгенбаума
libre 5702
Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия, фрактал - это противоположность хаосу.
Фрактал
Главное различие между хаосом и фракталом заключается в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодические изменения траекторий.
Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие. Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.
Ковер Серпинского
Фактически все, что кажется случайным и неправильной может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.
Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация (от лат. Iteratio - повторение) - повторное применение какой-либо математической операции. 
Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? У странного аттрактора, также как и в фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия.
Как бы мы не меняли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым. В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия.
Множество Мандельброта
Первым наиболее известным и авторитетным ученым, который исследовал фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию, или, как он ее еще назвал - геометрию природы.
Об этом Мандельброт написал свой известный труд «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature). Многие называют Мандельброта отцом фракталов, так как он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм.
Дополнительная идея, заложенная в фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим о одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мир. Однако могут существовать и нецелые измерения, например, 2.72.
Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями. Логика существования нецелых измерений очень проста. Так, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, 3-мерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения.
Вот для измерения таких неправильных, фрактальных фигур и было введено понятие Фрактальное измерение.
Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет трехмерной пулей. Однако в действительности это всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара.
Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но менее 3-х. Это плохо укладывается в евклидову геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5.
Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой.
Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя и генерируются простой формулой. Классическим примером сложного фрактала является множество Мандельброта, получаемое из простой формулы Zn +1 = Zna + C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.
На рисунке мы видим фрактал 2-й степени, где а = 2. 
