Особые фазовые траектории узла и седла

Рассмотрим особые фазовые траектории узла и седла.

Особые фазовые траектории узла и седла
Фазовая траектория узла

Если положение равновесия является седлом или узлом, то существуют фазовые

траектории, лежащие на прямых, проходящих через начало координат.

Уравнения таких прямых можно отыскать в виде x2=kx1

Если подставить это выражение в выражение, то для определения k будем иметь:

Особые фазовые траектории узла и седла (1)

Или

bk

Описание фазовых траекторий

  • Если корни уравнения k1≠ k2, то возможны два варианта:
    1. Седло: прямые x2≠ k1x1 и x2≠ k2x1 называют сепаратрисамы. Другие фазовые траектории — гиперболы, для которых найдены прямые являются асимптотами.
    2. Узел: прямые x2≠ k1x1 и x2≠ k2x1. Другие фазовые траектории — параболы, которые касаются в начала координат до одного из найденных прямых. Фазовые траектории касаются к той прямой, направленной вдоль собственного вектора, соответствующей меньшей по абсолютной величине λ.
  • Если корни уравнения k1=k2, то тип точки равновесия будет вырожденный узел. Прямая x2≠k1x1. Другие фазовые траектории — это ветви парабол, что касаются к этой прямой в начале координат.
  • Существует только единственный корень k1. Есть два варианта:
    1. Седло : прямые* x2=k1x1 и x1=0 — это сепаратрисы. Другие фазовые траектории — гиперболы, для которых найдены прямые являются асимптотами.
    2. Узел: прямые* x2=k1x1 и x1=0. Другие фазовые траектории образуют параболы, которые соприкасаются в начале координат к одной из найденных прямых.
  • k — Любое число. В данном случае будем иметь доктрический узел. Все фазовые траектории находятся на прямых x2=k1x1.

* Если уравнение прямых ищут в виде x1=kx2, тогда это будут прямые.

Если положение равновесия является центром, то фазовые траектории являются эллипсами.

 

Получать интересное на почту

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *