Понятие бифуркации. Задачи теории бифуркаций

Исследование качественных математических моделей сопровождается возникновением качественных вопросов, можно разделить на две категории:

  • Вопросы, относящиеся к поведению системы при фиксированных значениях параметров; важным при этом является качественное понимание характера режимов, устанавливаемых в системе;
  • Вопросы, касающиеся событий, которые происходят в системе при изменении значений параметров. Медленное изменение параметра может привести к тому, что при пересечении некоторого критического значения режим, установившийся в системе, приобретает качественные изменения. При таких перестройках фазовый портрет изучаемой системы, изменяется. Качественные перестройки фазового портрета называются бифуркация.

Итак, вопрос второго типа предполагают определение бифуркационных значений параметров и описание явлений, происходящих при переходе через критические значения.

Задачи теории бифуркаций

Решением вопросов данного типа занимается теория бифуркации, задачами которой являются:

  1. описание всех возможных бифуркации исследуемой системы;
  2. разбиение множества бифуркационных значений параметров на области с разными типами грубых фазовых портретов;
  3. построение для каждой области соответствующего фазового портрета.

Пример. Рассмотрим возникновение и сущность бифуркации.

Пусть имеем динамическую систему, заданную уравнением

уравнение системы

Приравняем правую часть описания системы к нулю и проанализируем, какие значения может принимать параметр, т.е. как он влияет на поведение системы. Имеем уравнение:

x2 = -r . (*)

При r<0 уравнение (*) имеет положительную правую часть. Итак, решений имеем два:

Решение

Изобразим данный случай графически (рис. 1)

Понятие бифуркации. Задачи теории бифуркаций

Рисунок 1 — Поведение исследуемой системы в случае r<0

Первая точка (слева) устойчива, так как из рис. 1 видно, что функция меняет свой знак с «+» на «-».

Вторая точка — неустойчива, так как из рис. 1 видно, что функция меняет свой знак с «-» на «+».

  1. При r = 0 уравнение (*) имеет один корень. В этой точке, следовательно мы не можем аналитически определить тип устойчивости. Фазовый график представлен на рис. 2.

Поведение исследуемой системы в случае r = 0

 

Рисунок 2 — Поведение исследуемой системы в случае r = 0

Из анализа графика рис. 2 можно установить, что функция f(x) при переходе через особую точку не меняет знак, следовательно эта точка является неустойчивой.

  • При r > 0 точек равновесия нету:

Поведение исследуемой системы в случае r > 0

Рисунок 3 — Поведение исследуемой системы в случае r > 0

Итак, полустойкие точка равновесия исчезает, как только становится положительным. Так как характеристики точек равновесия меняются со временем, говорят, что динамическая система имеет бифуркацию. В данном случае значение параметра меняются от отрицательных через ноль к положительным и характеристики стационарных точек изменяются так, как показано на рис. 1-3. Следовательно, в точке происходит бифуркация.

Точка бифуркации

Точка бифуркации — это такое состояние системы, при котором даже незначительное возмущение может привести к глобальным изменениям. Аналогично выражения «взмах крыла бабочки привел к урагану в Калифорнии». Рыцарь на распутье — это точка бифуркация, космический аппарат, летящий между Землей и Луной и не имеющий необходимой скорости, чтобы выйти из гравитационного поля одной или другой планеты — точка бифуркации. Станет он спутником Земли или Луны, зависит от микроскопических возмущений типа солнечного ветра или микрометеоритов. На фондовом и валютном рынках уровни поддержки или сопротивления являются точками бифуркации. Ценные бумаги или валюта, достигнув их, или сорвутся вниз, либо пойдут вверх и это зависит от очень незначительных факторов. Август 1991 г. — точка бифуркации для СССР.

Точи бифуркации часто встречаются в потоках газов и жидкости. Поэтому так трудно предсказать погодные условия.

Погода
Предсказание погодных условий при помощи точек бифуркации

Термин «бифуркация» буквально означает «раздвоение», но применяется в более широком смысле для обозначения всех возможных качественных перестроек некоторого объекта при изменении параметра, от которого он зависит. Существуют разные виды бифуркаций.

В примере для функции

функция

значение параметра ε = 0 соответствует точке бифуркации, так как при переходе ε от отрицательных значений к положительным стационарное состояние х=0 стало неустойчивым и дополнилось парой устойчивых состояний —

устойчивые состояния

В примере

пример

при отрицательных значениях ε стационарные состояния вообще отсутствуют, а в точке ε = 0 происходит рождение таких состояний, один из которых устойчив, а другой — неустойчивый. В обоих случаях значения ε = 0 соответствуют точкам бифуркации, хотя и разных типов.

Проблемой исследования точек бифуркации является их классификация и анализ поведения семейств функций вблизи структурно неустойчивых особых точек.

 

Получать интересное на почту

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *