Структурная устойчивость системы

Рассмотрим функции y1=x2, y2=x3 и y3=x4. Все они имеют единую стационарную (особую) точку x=0 (первые производные каждой функции обращаются в нуль в этой единственной точке).

y1 и y3 имеют в этой точке минимальное значение, а y2 — точка перегиба. Введем в каждую функцию малые возмущения:

Структурная устойчивость системы

где параметр ε может быть каким угодно малым. В результате примененного возмущения в первом случае никаких существенных изменений не произошло. Особая точка осталась одна, только ее значение сдвинулось на величину x0 = ε/2 , а соответствующее значение y = ε2/4 (рис. 1, а). Для функций y2 и y3 ситуация совсем другая. Для y2 особая точка с точки перегиба трансформировалась в две стационарные точки

стационарные точки

одна из которых соответствует минимуму, а другая — максимуму (рис. 1, б). Функция y4, которая имела единственный минимум в начале координат, в результате малого возмущения имеет уже три особые точки. При этом начало координат является точкой максимума, а в двух других точках, сколь угодно близких к точке x=0, система принимает минимальные значения (рис 1, в).

Деформация функции в окрестности особой точки при изменении параметра

Рисунок 1 — Деформация функции в окрестности особой точки при изменении параметра

Построение математической модели любого процесса связано со принебреганием маленькими членами. В первом примере (y1) это вполне оправданно. Во втором и третьем примерах поведение функций при учете достаточно малых уточняющих членов существенно иная.

Устойчивость
Структурная устойчивость системы

Следовательно, функции и обладают свойством, что их объединяет, которая называется структурной неустойчивостью. Соответствующая функция имеет свойство структурной устойчивости. Следовательно, срок структурной неустойчивости характеризует то, что при малом изменении структуры функции ее поведение в окрестности особой точки существенно и резко меняется.

Похожая статья: Устойчивость предельного цикла системы.

 

Получать интересное на почту

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *