Суть и способы линеаризации нелинейных динамических систем
Линеаразиция - один из наиболее распространенных методов анализа нелинейных систем. Идея линеаризации - использование линейной системы для аппроксимации поведения решений нелинейной системы в окрестности точки равновесия.
Линеаризация позволяет выявить большинство качественных и особенно количественных свойств нелинейной системы.
Методы линеаризации имеют ограниченный характер, то есть эквивалентность исходной нелинейной системы и ее линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, или для определенных процессов, причем, если система переходит из одного режима работы в другой, то следует изменить и ее линеаризованную модель.
Линеаризация нелинейных динамических систем методом замены переменных
Линеаризация системы нелинейных уравнений в окрестности точки равновесия может быть достигнута путем замены переменных так, чтобы точка равновесия превратилась в начало координат.
Уравнения, полученные в результате указанного действия, будут линейными и называться линеаризацией исходной системы. Точки исходной системы, находящиеся в окрестности точки равновесия, будут соответствовать точкам в окрестности начала координат новой системы. Нас будет интересовать:
- значение новых переменных, близкие к нулю;
- при каких условиях нелинейными выражениями можно пренебречь.
Рассмотрим нелинейную систему:
Линеаризация на основе якобиана
Замену переменных можно использовать и при другой организации линеаризации. Производят замену: