Суть и способы линеаризации нелинейных динамических систем

Линеаразиция — один из наиболее распространенных методов анализа нелинейных систем. Идея линеаризации — использование линейной системы для аппроксимации поведения решений нелинейной системы в окрестности точки равновесия. Линеаризация позволяет выявить большинство качественных и особенно количественных свойств нелинейной системы.

Методы линеаризации имеют ограниченный характер, то есть эквивалентность исходной нелинейной системы и ее линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, или для определенных процессов, причем, если система переходит из одного режима работы в другой, то следует изменить и ее линеаризованную модель.

Линеаризация нелинейных динамических систем методом замены переменных

Линеаризация системы нелинейных уравнений в окрестности точки равновесия может быть достигнута путем замены переменных так, чтобы точка равновесия превратилась в начало координат. Уравнения, полученные в результате указанного действия, будут линейными и называться линеаризацией исходной системы. Точки исходной системы, находящиеся в окрестности точки равновесия, будут соответствовать точкам в окрестности начала координат новой системы.

Нас будет интересовать:

  1. значение новых переменных, близкие к нулю;
  2. при каких условиях нелинейными выражениями можно пренебречь.

Рассмотрим нелинейную систему:

Нелинейная система  (1)

что имеет точки равновесия (p, q).

Преобразование

u=x-p

v=y-q

переводит точки равновесия p, q в начало координат.

Дифференцирование дает:

Дифференцирование (2)

После замены переменных, подставив их новые значения в каждое уравнение, выделим линейную часть:

Суть и способы линеаризации нелинейных динамических систем

где F(u,v) и G(u,v) и состоят только из нелинейных выражений.

Говорят, что линейная система

линейная система

есть линерализацией системы (1) при таких условиях:

Условия линерализации

Эти последние условия обеспечивают то, что нелинейные выражения F(u,v) и G(u,v) на столько малы по сравнению с u и v при приближении к точке равновесия, что ими можно пренебречь.

Линеаризация на основе якобиана

Замену переменных можно использовать и при другой организации линеаризации. Производят замену:

линейная система

где Параметры

Это может быть записано в виде:

Преобразование системы

где якобиан называется якобиан.

 

Получать интересное на почту

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *