Устойчивость предельного цикла системы

Пусть некоторая динамическая система задана уравнениями

Система

Решение данной системы при t → ∞ не всегда задается состоянием равновесия.

Так, например, при условии получения мнимых корней соответствующего характеристического уравнения поведение системы характеризуется как незатухающие колебания с постоянной амплитудой, то есть решением являются функции x(t+T)=x(t), y(t+T)=y(t). В данном случае говорят, что в системе существует устойчивый предельный цикл. Типичная картина поведения решений в окрестности предельного цикла представлена на рис. 1

Устойчивость предельного цикла системы

Рисунок 1 — Устойчивый предельный цикл

Фазовые траектории изнутри и извне «наматываются» на цикл. независимо от исходных данных в системе будут происходить колебания с постоянными амплитудой и частотой — так называемые автоколебания.

Типы предельных циклов:

  • Устойчивые — близкие траектории «навиваются» на цикл при t → ∞ (рис. 2);
  • Полустойкие — траектории, находящиеся по одну сторону от цикла — «навиваются» на него при t → ∞, а те, что находятся по другую сторону — «отходят» от цикла (рис. 3);
  • Неустойчивые — близкие траектории «отходят» от цикла при t → ∞ (рис. 4).

типы предельных циклов

Рис. 2 — Устойчивые циклы. Рис. 3 — Полустойкие. Рис. 4 — Неустойчивые

К сожалению, обобщенных эффективных методов определения устойчивости предельных циклов не существует. Один из них основан на использовании функции подражания.

Функция подражания

Идея построения функции подражания состоит в следующем. Проводится луч, что явно пересекает предельный цикл и близкие траектории. Например, проведем луч ОА, исходящего из особой точки О, которая лежит внутри предельного цикла (рис. 5). Введем координату r вдоль этого луча. Рассмотрим траекторию, выходящую из точки А, принадлежащей лучу. Пусть эта траектория впервые пересекает луч в точке В. Введем функцию rB = f(rA), которая каждой точке с координатой rA ставит в соответствие координату точки В. Пусть rn — координата n-го пересечения траектории с лучом. Тогда rn+1=f(rn), а предельном циклу соответствует неподвижная точка этого отображения r* = f(r*).

Если rn → r* для всех ri, принадлежащих окрестности r*, то предельный цикл будет устойчивым.

Построение функции подражания

Рисунок 5 — Построение функции подражания

Идея построения функции подражания оказалась очень плодотворной для исследования нелинейных систем, особенно высшего порядка (размерность фазового пространства N>2). Обобщение описанного подхода носит название метода сечений Пуанкаре. При этом, переходя к системам с большим количеством измерений, вместо луча ОА следует рассматривать некоторую гиперплоскость. Например, в трехмерном случае рассматривают точки Р0, Р1, Р2, …, Рn как сечения траектории с плоскостью S (рис. 6). Преобразования, что переводят точку в следующую, называется отображением Пуанкаре:

Рn + 1 = Т(Pn)

Схематическое изображение сечения Пуанкаре

Рисунок 6 — Схематическое изображение сечения Пуанкаре

Метод сечений Пуанкаре упрощает исследования непрерывных динамических систем по крайней мере по трем причинам:

  • Количество фазовых переменных уменьшается на единицу;
  • Дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями вида xi (k + 1) = f (xi(k)), i = 1,2, …, N, которые значительно легче поддаются исследованию;
  • Резко сокращается количество данных, подлежащих обработке, так как почти всеми точками на траектории можно пренебречь.

Кроме того, многие системы дифференциальных уравнений порождают схожие отображения. Поэтому сейчас часто одномерные и двумерные отображения рассматриваются как упрощенные модели различных процессов.

Ознакомьтесь так же: Структурная устойчивость системы.

 

Получать интересное на почту

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *