Устойчивость предельного цикла системы

Пусть некоторая динамическая система задана уравнениями Система Решение данной системы при t → ∞ не всегда задается состоянием равновесия. Так, например, при условии получения мнимых корней соответствующего характеристического уравнения поведение системы характеризуется как незатухающие колебания с постоянной амплитудой, то есть решением являются функции x(t+T)=x(t), y(t+T)=y(t). В данном случае говорят, что в системе существует устойчивый предельный цикл. Типичная картина поведения решений в окрестности предельного цикла представлена на рис. 1 Устойчивость предельного цикла системы Рисунок 1 - Устойчивый предельный цикл Фазовые траектории изнутри и извне «наматываются» на цикл. независимо от исходных данных в системе будут происходить колебания с постоянными амплитудой и частотой - так называемые автоколебания. Типы предельных циклов:
  • Устойчивые - близкие траектории «навиваются» на цикл при t → ∞ (рис. 2);
  • Полустойкие - траектории, находящиеся по одну сторону от цикла - «навиваются» на него при t → ∞, а те, что находятся по другую сторону - «отходят» от цикла (рис. 3);
  • Неустойчивые - близкие траектории «отходят» от цикла при t → ∞ (рис. 4).
типы предельных циклов Рис. 2 - Устойчивые циклы. Рис. 3 - Полустойкие. Рис. 4 - Неустойчивые К сожалению, обобщенных эффективных методов определения устойчивости предельных циклов не существует. Один из них основан на использовании функции подражания.

Функция подражания

Идея построения функции подражания состоит в следующем. Проводится луч, что явно пересекает предельный цикл и близкие траектории. Например, проведем луч ОА, исходящего из особой точки О, которая лежит внутри предельного цикла (рис. 5). Введем координату r вдоль этого луча. Рассмотрим траекторию, выходящую из точки А, принадлежащей лучу. Пусть эта траектория впервые пересекает луч в точке В. Введем функцию rB = f(rA), которая каждой точке с координатой rA ставит в соответствие координату точки В. Пусть rn - координата n-го пересечения траектории с лучом. Тогда rn+1=f(rn), а предельном циклу соответствует неподвижная точка этого отображения r* = f(r*). Если rn → r* для всех ri, принадлежащих окрестности r*, то предельный цикл будет устойчивым. Построение функции подражания Рисунок 5 - Построение функции подражания Идея построения функции подражания оказалась очень плодотворной для исследования нелинейных систем, особенно высшего порядка (размерность фазового пространства N>2). Обобщение описанного подхода носит название метода сечений Пуанкаре. При этом, переходя к системам с большим количеством измерений, вместо луча ОА следует рассматривать некоторую гиперплоскость. Например, в трехмерном случае рассматривают точки Р0, Р1, Р2, ..., Рn как сечения траектории с плоскостью S (рис. 6). Преобразования, что переводят точку в следующую, называется отображением Пуанкаре: Рn + 1 = Т(Pn) Схематическое изображение сечения Пуанкаре Рисунок 6 - Схематическое изображение сечения Пуанкаре Метод сечений Пуанкаре упрощает исследования непрерывных динамических систем по крайней мере по трем причинам:
  • Количество фазовых переменных уменьшается на единицу;
  • Дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями вида xi (k + 1) = f (xi(k)), i = 1,2, ..., N, которые значительно легче поддаются исследованию;
  • Резко сокращается количество данных, подлежащих обработке, так как почти всеми точками на траектории можно пренебречь.
Кроме того, многие системы дифференциальных уравнений порождают схожие отображения. Поэтому сейчас часто одномерные и двумерные отображения рассматриваются как упрощенные модели различных процессов. Ознакомьтесь так же: Структурная устойчивость системы.
Рейтинг: 5/5 - 1 голосов

Комментарии ()