Бифуркации

Важная особенность социально-экономических систем - это то, что ими можно управлять, изменяя факторы, действующие на них.

Например, в уравнении q1=bq1q2 постоянная b описывает связь между двумя системами q1 и q2. Если силу связи регулировать снаружи, то b играет роль управляющего параметра. Итак имеем систему автономных дифференциальных уравнений. Автономная - явно не зависящая от времени t. Решение 8.2 представим как , где - начальные условия. Эволюция (8.2), как правило, проходит в определенных внешних условиях, которые называются параметрами системы. , где - вектор параметров системы. Рисунок 1 - Преобразование «ежа-рыбы» в «эхо-рыбу» за счет изменения сетки

Каждый из двух рисунков только деформированная копия другого. В математической точке зрения две фигуры неотличим.

Другими словами, качественно новые свойства не возникает при деформации. То есть имеет место структурная устойчивость.

Качественное изменение фазового портрета называется бифуркацией. Даже незначительное изменение параметров входящих в систему уравнений (8.3), может обуславливать изменение характера решений. Значение параметров а=а0 не является структурно устойчивым.

Пример

Построим фазовый портрет при Значение параметра а=0 является точкой бифуркации. При бифуркации могут появляться новые (или исчезать) особые точки, устойчивые особые точки становятся неустойчивыми и наоборот и т.д.. Когда при малом изменении качественная картина траекторий не меняется, то решение является структурно устойчивым. Если структура фазового портрета меняется, то решение является структурно устойчивым.

В общем случае, возможность исследования всего фазового пространства на точки бифуркации является сложной задачей для n-мерного пространства, этому проводятся локальные исследования, а полученные точки бифуркации - локальными точками бифуркации.