Локальная устойчивость
Идея линеаризации - использовать линейную систему для аппроксимации поведения решений нелинейной системы около точки равновесия.
- Если линейная система имеет нулевое собственное значение, ничего нельзя сказать о нелинейной системе. Нулевое собственное значение соответствует линии Det = 0 в диаграмме TD и система, соответственно, не является простой.
- Если линейная система имеет чисто мнимые собственные значения, то ничего нельзя сказать о соответствующей нелинейной системе. Для чисто мнимых собственных значений линеаризация является центром. А следовательно, если линеаризация является центром, нет возможности узнать ничего о нелинейной системе с ее линеаризацией.
- Если линеаризация демонстрирует устойчивый узел или устойчивый фокус, тогда все решения линеаризованной системы стремятся к (0,0) при. А значит, для нелинейной системы, которая вблизи точки равновесия, решение начинает следовать к ней когда, точка равновесия является аттрактором и устойчивая.
- Если линеаризация демонстрирует неустойчивый узел или неустойчивый фокус, все решения удаляются от (0,0) и является неограниченными. Итак, для нелинейной системы, все точки, которой вблизи точки равновесия, начинают удаляться от нее, точка равновесия является репеллером и неустойчива.
- Если линеаризация демонстрирует седло, тогда некоторые решения следующих находятся в (0,0, а другие удаляются от нее. Итак, для нелинейной системы, демонстрирующий подобное поведение вблизи точки равновесия, точка равновесия является нелинейным седлом и неустойчива.
Однако, отметим, что теорема Хартмана-Гробмана имеет два серьезных ограничения:
- Она ничего не говорит нам, когда линеаризация не простая или является центром.
- Теорема дает информацию о поведении решений вблизи равновесия.
Чтобы сделать глобальный прогноз, нам необходима дополнительная информация. Чтобы добиться дальнейшего прогресса в анализе нелинейных систем, необходимо провести глобальный анализ.
Для этого необходимо рассматривать концепцию консервативных систем, оборотных систем и функцию Ляпунова. Для дополнительного ознакомления: Критерий устойчивости Гурвица.