Направление движения по фазовых траекториях

Если положение равновесия является узлом или фокусом, то направление движения по фазовых траекториях однозначно определяется его устойчивостью (до начала координат) или неустойчивостью (от начала координат). Направление «закручивания» спирали на примере улитки

Положение равновесия является фокус

В случае фокуса необходимо установить еще и направление «закручивания» («Раскрутка») спирали - по часовой стрелке или против. Это определяют с помощью знака производной x^'

₂t в точках оси х. Если при x₁ > 0, то ордината точки, движущейся по фазовой траектории, при сечения «положительного луча оси x₁» увеличивается. Таким образом, «закручивание» («раскрутка») траекторий происходит против часовой стрелки. Если при x₁ > 0, то «закручивание» («раскрутка») траекторий происходит по часовой стрелке.

Положение равновесия является центр

Если положение равновесия является центром, то «закручивания» («раскрутка») движения по фазовым траекториям устанавливается так же, как и в случае фокуса.

Положение равновесия является седло

В случае седла движение по одной из его сепаратрис происходит в направлении начала координат, по другой - от начала координат. По всем другим фазовых траекториях движение происходит в соответствии с движением по сепаратрисах. Рисунок 1 - Движение по седлу

Итак, если положение равновесия - седло, то достаточно установить направление движения по любой одной траектории, а дальше можно однозначно установить направление движения по всем остальным. Для определения направления движения по одной из траектории в случае седла существует несколько способов.

• Определить, какая из двух сепаратрис соответствует отрицательному собственному значению. Движение по ней происходит к точке равновесия.
• Определить, как изменяется абсцисса точки, движущейся по одной с сепаратрис. Например, для x₂=kx₁ будем иметь:

Если то движение по сепаратрисе x₂=kx₁ идет в направлении точки равновесия. Если то движение по сепаратрисе x₂=kx₁ идет от точки равновесия. Рекомендуем посмотреть: Направление движения по фазовых траекториях.