Использования оборотных систем для исследования устойчивости нелинейных динамических систем.

Часто динамические системы имеют оборотную во времени симметрию в том смысле, что их поведение не зависит от направления времени.

Так, например, нить, на которой подвешен маятник, одинакова независимо от того, колеблется маятник вперед или назад. Нить с подвешенным маятником

Планарная (плоская) динамическая система называется обратимой, если уравнения инвариантны при замене переменных t → -t, x → x и y → -y (или t → -t, x → -x и y → y).

Заметим, что во многих динамических системах х представляет перемещения, а y представляет скорость, так как y=x'. Соответственно, изменение знака t также изменяет знак y, но не x.

Свойство оборотной системы

Если x(t), y(t) является решением системы, то решением является и x(t), y(t). Это означает, что любая траектория системы, находящейся над осью х (или слева от оси y) должна иметь двойника, который получают отражением относительно оси х (или оси y) и который отличается по направлению времени.

То есть, фазовый портрет системы симметричен относительно оси х (или оси y). Что это нам дает в понимании долгосрочного поведения нелинейной системы? Рассмотрим траекторию, начинающуюся на оси х справа от точки равновесия. Эта траектория кружит вокруг точки равновесия и, в конце концов, пересечет ось слева от точки равновесия.

По свойству обратимой системы, должна существовать соответствующая траектория, полученная с помощью отображения относительно оси х с той же конечной точкой, только оборотная во времени. Вместе эти две траектории образуют замкнутую орбиту.

Итак, точка равновесия является центром. Аналогичные рассуждения справедливы и относительно оси у.

Теорема: если оборотная система имеет точку равновесия, которой соответствует линеаризация с центром, нелинейная система должна иметь нелинейный центр. Таким образом, определение обратимости системы может быть полезным при доказательстве существования нелинейного центра.