Суть и способы линеаризации нелинейных динамических систем

Моделирование
Нелинейная система

Линеаразиция — один из наиболее распространенных методов анализа нелинейных систем. Идея линеаризации — использование линейной системы для аппроксимации поведения решений нелинейной системы в окрестности точки равновесия. Линеаризация позволяет выявить большинство качественных и особенно количественных свойств нелинейной системы. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, то есть эквивалентность исходной нелинейной системы и ее линейного приближения сохраняется лишь для […]

Алгоритм построения фазового портрета ЛДС

Моделирование
Алгоритм построения фазового портрета ЛДС

Рассмотрим алгоритм построения фазового портрета линейных динамических систем: Определить положение равновесия, решив систему; Найти собственные значения матрицы системы из уравнения Определить тип точки равновесия и сделать вывод об их устойчивости. Найти уравнение главных изоклин и построить их на фазовой плоскости. Если положение равновесия является седлом или узлом, то найти те фазовые траектории, лежащие на прямых, […]

Направление движения по фазовых траекториях

Моделирование
Направление «закручивания» спирали на примере улитки

Если положение равновесия является узлом или фокусом, то направление движения по фазовых траекториях однозначно определяется его устойчивостью (до начала координат) или неустойчивостью (от начала координат). Положение равновесия является фокус В случае фокуса необходимо установить еще и направление «закручивания» («Раскрутка») спирали — по часовой стрелке или против. Это определяют с помощью знака производной x`2t в точках […]

Особые фазовые траектории узла и седла

Моделирование
Особые фазовые траектории узла и седла

Рассмотрим особые фазовые траектории узла и седла. Если положение равновесия является седлом или узлом, то существуют фазовые траектории, лежащие на прямых, проходящих через начало координат. Уравнения таких прямых можно отыскать в виде x2=kx1 Если подставить это выражение в , то для определения k будем иметь: (1) Или Описание фазовых траекторий Если корни уравнения k1≠ k2, […]

Бифуркационная диаграмма

Моделирование
Бифуркационная диаграмма - график

Бифуркационная диаграмма — можно определить тип точки равновесия и характер ее устойчивости, не находя собственных значений матрицы системы 1, а зная только ее след (tr) и детерминант (det). Тип точки равновесия и характер ее устойчивости Бифуркационная диаграмма — график     Главные изоклины Вертикальная изоклина — совокупность точек фазовой плоскости, в которых касательная к фазовой траектории […]

Точки равновесия для динамических систем

Моделирование
Точки равновесия для динамических систем

Пусть имеем линейную однородную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: (1) Точки равновесия системы находят из решения системы: (2) Если определитель системы этой не равен нулю (3) то система имеет единственное решение. Тип положения равновесия определяется собственными числами матрицы системы, которые находят из характеристического уравнения: (4) где: — след матрици, — детерминант. Классификация точек равновесия […]

Основные положения синергетики

Моделирование
Основные положения синергетики

Основные положения синергетики, как известно, в основе системного анализа лежит принцип системности, а в основе теорий самоорганизации — принцип развития. Оба принципа взаимодополняют друг друга и в действительности образуют единство, что отражается в познании, как единство теорий самоорганизации и системных исследований. Составляющие теории самоорганизации К теориям самоорганизации относятся синергетика, теория изменений и теория катастроф. Синергетика, […]

Адаптационный и бифуркационный механизмы развития

Моделирование
Законы природы

В реальности процесс развития является единственным, сочетающим в себе различные механизмы. Основные черты единого процесса развития следующие. Законы природы устанавливают определенные пределы изменения состояния системы, «каналы», внутри которых могут протекать процессы эволюции системы. В свою очередь, множество случайных факторов влияет на эти границы, что может привести к их нарушению. Если параметры и состояния системы не […]

Развитие и формирование социально-синергетического подхода к современным общественным процессам и тенденциям

Моделирование
Проблема времени

Параллельно с синергетическим исследованиями развивалась и теория самоорганизации на основе термодинамики неравновесных процессов. Фундаментальные результаты, полученные в исследовании термодинамики неравновесных процессов, связанных прежде всего с именем лауреата Нобелевской премии И. Пригожина и его Брюссельской школой. В отличие от классической термодинамики, рассматривавшей системы в равновесии или вблизи него, Пригожий сосредоточился на изучении систем, сильно удаленных от […]

Модель развития экономики

Моделирование

Вкратце опишем открытые с помощью системного подхода и концепций самоорганизации закономерности развития национальной экономики. Закономерности развития национальной экономики Развитие экономики представляет собой качественное изменение ее структуры и функционирования за счет кооперативного взаимодействия ее компонентов и подчиняется следующим закономерностям. Экономика и ее компоненты подвергаются изменениям — флуктуациям, что экономика до определенного предела может нейтрализовывать, «гасить», чему […]